Riješi 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Izračunaj x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -4 s b i -9 s c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Dodaj 16 broju 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -4 jest 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} kad je ± plus. Dodaj 4 broju 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Podijelite 4+2\sqrt{31} s 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} kad je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{31} od 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Podijelite 4-2\sqrt{31} s 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Dodajte 9 objema stranama jednadžbe.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Oduzimanje -9 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Oduzmite -9 od 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Podijelite 9 s 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Podijelite -\frac{4}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{2}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{2}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{2}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Dodaj 3 broju \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Dodajte \frac{2}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$