Riješi 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx-60. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -180 proizvoda.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rješenje je par koji daje zbroj -31.

$$a=-36 b=5$$

Izrazite 3x^{2}-31x-60 kao \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Faktor 3x u prvom i 5 u drugoj grupi.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-12 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-12=0 i 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -31 s b i -60 s c.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Dodaj 961 broju 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -31 jest 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{31±41}{6} kad je ± plus. Dodaj 31 broju 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Podijelite 72 s 6.

$$x=12$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{31±41}{6} kad je ± minus. Oduzmite 41 od 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Skratite razlomak \frac{-10}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Dodajte 60 objema stranama jednadžbe.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Oduzimanje -60 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Oduzmite -60 od 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Podijelite 60 s 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Podijelite -\frac{31}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{31}{6}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{31}{6} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{31}{6} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Dodaj 20 broju \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Dodajte \frac{31}{6} objema stranama jednadžbe.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$