Riješi 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Oduzmite 138 od obiju strana.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx-138. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Budući da je ab negativan, a i b imaju suprotne znakove. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Rješenje je par koji daje zbroj 5.

$$a=-18 b=23$$

Izrazite 3x^{2}+5x-138 kao \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Izlučite 3x iz prve i 23 iz druge grupe.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Izlučite zajednički izraz x-6 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$3x^{2}+5x=138$$

Oduzmite 138 od obiju strana jednadžbe.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Oduzimanje 138 samog od sebe dobiva se 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, 5 s b i -138 s c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Dodaj 25 broju 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-5±41}{6} kad je ± plus. Dodaj -5 broju 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podijelite 36 s 6.

$$x=6$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-5±41}{6} kad je ± minus. Oduzmite 41 od -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Skratite razlomak \frac{-46}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Podijelite 138 s 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Podijelite \frac{5}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili \frac{5}{6}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte \frac{5}{6} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte \frac{5}{6} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Dodaj 46 broju \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Rastavite x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pojednostavnite.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Oduzmite \frac{5}{6} od obiju strana jednadžbe.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$