Riješi 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Izračunaj x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 25x^{2}+ax+bx+16. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Budući da je ab pozitivan, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Rješenje je par koji daje zbroj -40.

$$a=-20 b=-20$$

Izrazite 25x^{2}-40x+16 kao \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Izlučite 5x iz prve i -4 iz druge grupe.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Izlučite zajednički izraz 5x-4 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Ponovno napišite kao kvadrat binoma.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Da biste pronašli rješenje jednadžbe, riješite 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 25 s a, -40 s b i 16 s c.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Kvadrirajte -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Pomnožite -4 i 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Pomnožite -100 i 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Dodaj 1600 broju -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Broj suprotan broju -40 jest 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Pomnožite 2 i 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Skratite razlomak \frac{40}{50} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Oduzmite 16 od obiju strana jednadžbe.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Oduzimanje 16 samog od sebe dobiva se 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Podijelite obje strane sa 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Dijeljenjem s 25 poništava se množenje s 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Skratite razlomak \frac{-40}{25} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Podijelite -\frac{8}{5}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{4}{5}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{4}{5} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{4}{5} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Dodajte -\frac{16}{25} broju \frac{16}{25} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Rastavite x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Dodajte \frac{4}{5} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Jednadžba je sada riješena. Rješenja su jednaka.

$$x=\frac{4}{5}$$