Riješi 2y-3x=-22;2x+3y=32

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

Izračunaj y, x

$$x=10$$

$$y=4$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$2y-3x=-22$$

Dodajte 3x objema stranama jednadžbe.

$$2y=3x-22$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i 3x-22.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

Supstituirajte \frac{3x}{2}-11 s y u drugoj jednadžbi, 3y+2x=32.

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

Pomnožite 3 i \frac{3x}{2}-11.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

Dodaj \frac{9x}{2} broju 2x.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

Dodajte 33 objema stranama jednadžbe.

$$\frac{13}{2}x=65$$

Podijelite obje strane jednadžbe s \frac{13}{2}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$x=10$$

Supstituirajte 10 s x u izrazu y=\frac{3}{2}x-11. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

Pomnožite \frac{3}{2} i 10.

$$y=15-11$$

Dodaj -11 broju 15.

$$y=4$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=4,x=10$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=4,x=10$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

Da biste izjednačili 2y i 3y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 2.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

Pojednostavnite.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

Oduzmite 6y+4x=64 od 6y-9x=-66 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

Dodaj 6y broju -6y. Uvjeti 6y i -6y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-9x-4x=-66-64$$

Dodaj -9x broju -4x.

$$-13x=-66-64$$

Dodaj -66 broju -64.

$$-13x=-130$$

Podijelite obje strane sa -13.

$$x=10$$

Supstituirajte 10 s x u izrazu 3y+2x=32. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$3y+2\times 10=32$$

Pomnožite 2 i 10.

$$3y+20=32$$

Oduzmite 20 od obiju strana jednadžbe.

$$3y=12$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$y=4$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=4,x=10$$