Riješi 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Izračunaj x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$2x-3y=-2$$

Dodajte 3y objema stranama jednadžbe.

$$2x=3y-2$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Supstituirajte \frac{3y}{2}-1 s x u drugoj jednadžbi, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Pomnožite 4 i \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Dodaj 6y broju y.

$$7y-4=2A$$

Dodajte 4 objema stranama jednadžbe.

$$7y=2A+4$$

Podijelite obje strane sa 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Supstituirajte \frac{4+2A}{7} s y u izrazu x=\frac{3}{2}y-1. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Pomnožite \frac{3}{2} i \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Dodaj -1 broju \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Da biste izjednačili 2x i 4x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 4 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Pojednostavnite.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Oduzmite 8x+2y=4A od 8x-12y=-8 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Dodaj 8x broju -8x. Uvjeti 8x i -8x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Dodaj -12y broju -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Dodaj -8 broju -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Podijelite obje strane sa -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Supstituirajte \frac{4+2A}{7} s y u izrazu 4x+y=2A. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Oduzmite \frac{4+2A}{7} od obiju strana jednadžbe.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$