Riješi 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Izračunaj x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 2 s a, -2 s b i -1 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrirajte -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Dodaj 4 broju 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Broj suprotan broju -2 jest 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kad je ± plus. Dodaj 2 broju 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Podijelite 2+2\sqrt{3} s 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kad je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Podijelite 2-2\sqrt{3} s 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Dodajte 1 objema stranama jednadžbe.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanje -1 samog od sebe dobiva se 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Dijeljenjem s 2 poništava se množenje s 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Podijelite -2 s 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Dodajte \frac{1}{2} broju \frac{1}{4} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$