Riješi 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Izračunaj x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$2x+y=1$$

Oduzmite y od obiju strana jednadžbe.

$$2x=-y+1$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Supstituirajte \frac{-y+1}{2} s x u drugoj jednadžbi, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Dodaj -\frac{y}{2} broju -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Oduzmite \frac{1}{2} od obiju strana jednadžbe.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Podijelite obje strane jednadžbe s -\frac{3}{2}, što je isto kao da pomnožite obje strane recipročnim razlomkom.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} broju -\frac{3}{2} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=3$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-1,y=3$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Da biste izjednačili 2x i x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 1 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Pojednostavnite.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Oduzmite 2x-2y=-8 od 2x+y=1 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Dodaj 2x broju -2x. Uvjeti 2x i -2x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$y+2y=1+8$$

Dodaj y broju 2y.

$$3y=1+8$$

Dodaj 1 broju 8.

$$3y=9$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$y=3$$

Supstituirajte 3 s y u izrazu x-y=-4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x-3=-4$$

Dodajte 3 objema stranama jednadžbe.

$$x=-1$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-1,y=3$$