Riješi 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Izračunaj x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$2x+3y=6$$

Oduzmite 3y od obiju strana jednadžbe.

$$2x=-3y+6$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Supstituirajte -\frac{3y}{2}+3 s x u drugoj jednadžbi, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Pomnožite 6 i -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Dodaj -9y broju -5y.

$$-14y+18=4$$

Oduzmite 18 od obiju strana jednadžbe.

$$-14y=-14$$

Podijelite obje strane sa -14.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu x=-\frac{3}{2}y+3. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Dodaj 3 broju -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Da biste izjednačili 2x i 6x, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 6 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Pojednostavnite.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Oduzmite 12x-10y=8 od 12x+18y=36 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Dodaj 12x broju -12x. Uvjeti 12x i -12x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$18y+10y=36-8$$

Dodaj 18y broju 10y.

$$28y=36-8$$

Dodaj 36 broju -8.

$$28y=28$$

Podijelite obje strane sa 28.

$$y=1$$

Supstituirajte 1 s y u izrazu 6x-5y=4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$6x-5=4$$

Dodajte 5 objema stranama jednadžbe.

$$6x=9$$

Podijelite obje strane sa 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$