Riješi 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 2x^{2}+ax+bx-40. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Budući da je ab negativan, a i b imaju suprotne znakove. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Rješenje je par koji daje zbroj -11.

$$a=-16 b=5$$

Izrazite 2x^{2}-11x-40 kao \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Izlučite 2x iz prve i 5 iz druge grupe.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Izlučite zajednički izraz x-8 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 2 s a, -11 s b i -40 s c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrirajte -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Dodaj 121 broju 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Broj suprotan broju -11 jest 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{11±21}{4} kad je ± plus. Dodaj 11 broju 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podijelite 32 s 4.

$$x=8$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{11±21}{4} kad je ± minus. Oduzmite 21 od 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Skratite razlomak \frac{-10}{4} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Dodajte 40 objema stranama jednadžbe.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Oduzimanje -40 samog od sebe dobiva se 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Oduzmite -40 od 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dijeljenjem s 2 poništava se množenje s 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Podijelite 40 s 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Podijelite -\frac{11}{2}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{11}{4}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{11}{4} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{11}{4} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Dodaj 20 broju \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Rastavite x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Dodajte \frac{11}{4} objema stranama jednadžbe.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$