Riješi 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 18x^{2}+ax+bx-5. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji treba riješiti.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Budući da je ab negativan, a i b imaju suprotne znakove. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne. Navedite sve takve parove cijelih brojeva koji proizvode -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rješenje je par koji daje zbroj -9.

$$a=-15 b=6$$

Izrazite 18x^{2}-9x-5 kao \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Izlučite 3x iz 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Izlučite zajednički izraz 6x-5 pomoću svojstva distribucije.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 6x-5=0 i 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 18 s a, -9 s b i -5 s c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kvadrirajte -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnožite -4 i 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnožite -72 i -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Dodaj 81 broju 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Broj suprotan broju -9 jest 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Pomnožite 2 i 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{9±21}{36} kad je ± plus. Dodaj 9 broju 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Skratite razlomak \frac{30}{36} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{9±21}{36} kad je ± minus. Oduzmite 21 od 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Skratite razlomak \frac{-12}{36} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Dodajte 5 objema stranama jednadžbe.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Oduzimanje -5 samog od sebe dobiva se 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Oduzmite -5 od 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Podijelite obje strane sa 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Dijeljenjem s 18 poništava se množenje s 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Skratite razlomak \frac{-9}{18} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Podijelite -\frac{1}{2}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{1}{4}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{1}{4} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{1}{4} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Dodajte \frac{5}{18} broju \frac{1}{16} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Rastavite x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} na faktore. Općenito, kad je x^{2}+bx+c kvadratni broj, uvijek se može rastaviti na faktore kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Dodajte \frac{1}{4} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$