Riješi 15(x^2-1)>-16x

$$15 ( x ^ { 2 } - 1 ) > - 16 x$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{3}{5},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 15 s x^{2}-1.

$$15x^{2}-15>-16x$$

Dodajte 16x na obje strane.

$$15x^{2}-15+16x>0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-15+16x=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 15 s a, 16 s b i -15 s c.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{-16±34}{30} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i x-\frac{3}{5} i x+\frac{5}{3} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{3}{5} i x+\frac{5}{3} negativni.

$$x-\frac{3}{5}<0 x+\frac{5}{3}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{3}{5} i x+\frac{5}{3} pozitivni.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-\frac{3}{5}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x>\frac{3}{5}.

$$x>\frac{3}{5}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>\frac{3}{5}$$