Riješi 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Izračunaj x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 14x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -210 proizvoda.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rješenje je par koji daje zbroj -29.

$$a=-35 b=6$$

Izrazite 14x^{2}-29x-15 kao \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktor 7x u prvom i 3 u drugoj grupi.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin 2x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 2x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 14 s a, -29 s b i -15 s c.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Kvadrirajte -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnožite -4 i 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnožite -56 i -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Dodaj 841 broju 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Broj suprotan broju -29 jest 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Pomnožite 2 i 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{29±41}{28} kad je ± plus. Dodaj 29 broju 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Skratite razlomak \frac{70}{28} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{29±41}{28} kad je ± minus. Oduzmite 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Skratite razlomak \frac{-12}{28} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Dodajte 15 objema stranama jednadžbe.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Oduzimanje -15 samog od sebe dobiva se 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Podijelite obje strane sa 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Dijeljenjem s 14 poništava se množenje s 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Podijelite -\frac{29}{14}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{29}{28}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{29}{28} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{29}{28} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Dodajte \frac{15}{14} broju \frac{841}{784} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Dodajte \frac{29}{28} objema stranama jednadžbe.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$