Riješi 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 11 s a, -9 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} negativni.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} i x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} pozitivni.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$