Riješi 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Izračunaj k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 10k^{2}+ak+bk-1. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b pozitivan, pozitivni broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -10 proizvoda.

$$-1,10 -2,5$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Rješenje je par koji daje zbroj 9.

$$a=-1 b=10$$

Izrazite 10k^{2}+9k-1 kao \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Izlučite k iz 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Faktor uobičajeni termin 10k-1 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 10k-1=0 i k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 10 s a, 9 s b i -1 s c.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrirajte 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 i 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 i -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Dodaj 81 broju 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 i 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Sada riješite jednadžbu k=\frac{-9±11}{20} kad je ± plus. Dodaj -9 broju 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Skratite razlomak \frac{2}{20} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Sada riješite jednadžbu k=\frac{-9±11}{20} kad je ± minus. Oduzmite 11 od -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Podijelite -20 s 20.

$$k=-1$$

Jednadžba je sada riješena.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraci za računanje kvadrata

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Dodajte 1 objema stranama jednadžbe.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanje -1 samog od sebe dobiva se 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Podijelite obje strane sa 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Dijeljenjem s 10 poništava se množenje s 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Podijelite \frac{9}{10}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili \frac{9}{20}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte \frac{9}{20} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kvadrirajte \frac{9}{20} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Dodajte \frac{1}{10} broju \frac{81}{400} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Pojednostavnite.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Oduzmite \frac{9}{20} od obiju strana jednadžbe.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$