Riješi -x^2+5/2x-1>0

$$- x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - 1 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu -x^{2}+\frac{5}{2}x-1 bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+1<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -\frac{5}{2} s b i 1 s c.

$$x=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{3}{2}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{\frac{5}{2}±\frac{3}{2}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=2 x=\frac{1}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-2\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-2 i x-\frac{1}{2} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-2 pozitivan, a x-\frac{1}{2} negativan.

$$x-2>0 x-\frac{1}{2}<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{1}{2} pozitivan, a x-2 negativan.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-2<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(\frac{1}{2},2\right).

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{1}{2},2\right)$$