Riješi -5x^2+9x+2>0

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x + 2 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu -5x^{2}+9x+2 bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$5x^{2}-9x-2<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-9x-2=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 5 s a, -9 s b i -2 s c.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{9±11}{10}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{9±11}{10} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=2 x=-\frac{1}{5}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$5\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-2 i x+\frac{1}{5} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-2 pozitivan, a x+\frac{1}{5} negativan.

$$x-2>0 x+\frac{1}{5}<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x+\frac{1}{5} pozitivan, a x-2 negativan.

$$x+\frac{1}{5}>0 x-2<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(-\frac{1}{5},2\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(-\frac{1}{5},2\right)$$