Riješi -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Izračunaj x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu -3x^{2}+5x+2 bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 3 s a, -5 s b i -2 s c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{5±7}{6} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Da bi umnožak bio ≤0, x-2 ili x+\frac{1}{3} mora biti ≥0, a drugi član mora biti ≤0. Razmotrite slučaj kada je x-2\geq 0 i x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kada je x-2\leq 0 i x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$