Riješi -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Pomnožite nejednakost s -1 da bi koeficijent najveće potencije u izrazu -2x^{2}+12x-14 bio pozitivan. Budući da je -1 negativan, smjer nejednadžbe je promijenjen.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 2 s a, -12 s b i 14 s c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(\sqrt{2}+3\right) pozitivan, a x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativan.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(3-\sqrt{2}\right) pozitivan, a x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativan.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$