Riješi (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Izračunaj x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Koraci rješenja

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -6 s b i 7 s c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(\sqrt{2}+3\right) pozitivan, a x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativan.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\left(3-\sqrt{2}\right) pozitivan, a x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativan.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$