Riješi (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 2 s 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Dodajte 81 broju 162 da biste dobili 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Kombinirajte -90x i -180x da biste dobili -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Kombinirajte 25x^{2} i 50x^{2} da biste dobili 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Oduzmite 24 od 243 da biste dobili 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 75 s a, -270 s b i 219 s c.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} i x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} pozitivan, a x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} negativan.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} pozitivan, a x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} negativan.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$