Riješi (5z-3)^2-9z^2=0

$$( 5 z - 3 ) ^ { 2 } - 9 z ^ { 2 } = 0$$

Izračunaj z

$$z=\frac{3}{8}=0,375$$

$$z = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5z-3\right)^{2}.

$$25z^{2}-30z+9-9z^{2}=0$$

Kombinirajte 25z^{2} i -9z^{2} da biste dobili 16z^{2}.

$$16z^{2}-30z+9=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 16z^{2}+az+bz+9. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-30 ab=16\times 9=144$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 144 proizvoda.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Rješenje je par koji daje zbroj -30.

$$a=-24 b=-6$$

Izrazite 16z^{2}-30z+9 kao \left(16z^{2}-24z\right)+\left(-6z+9\right).

$$\left(16z^{2}-24z\right)+\left(-6z+9\right)$$

Faktor 8z u prvom i -3 u drugoj grupi.

$$8z\left(2z-3\right)-3\left(2z-3\right)$$

Faktor uobičajeni termin 2z-3 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(2z-3\right)\left(8z-3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite 2z-3=0 i 8z-3=0.

$$z=\frac{3}{2} z=\frac{3}{8}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5z-3\right)^{2}.

$$25z^{2}-30z+9-9z^{2}=0$$

Kombinirajte 25z^{2} i -9z^{2} da biste dobili 16z^{2}.

$$16z^{2}-30z+9=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 16 s a, -30 s b i 9 s c.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Kvadrirajte -30.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Pomnožite -4 i 16.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-64\times 9}}{2\times 16}$$

Pomnožite -64 i 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-576}}{2\times 16}$$

Dodaj 900 broju -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{324}}{2\times 16}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 324.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±18}{2\times 16}$$

Broj suprotan broju -30 jest 30.

$$z=\frac{30±18}{2\times 16}$$

Pomnožite 2 i 16.

$$z=\frac{30±18}{32}$$

Sada riješite jednadžbu z=\frac{30±18}{32} kad je ± plus. Dodaj 30 broju 18.

$$z=\frac{48}{32}$$

Skratite razlomak \frac{48}{32} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 16.

$$z=\frac{3}{2}$$

Sada riješite jednadžbu z=\frac{30±18}{32} kad je ± minus. Oduzmite 18 od 30.

$$z=\frac{12}{32}$$

Skratite razlomak \frac{12}{32} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 4.

$$z=\frac{3}{8}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$z=\frac{3}{2} z=\frac{3}{8}$$

Koraci za računanje kvadrata

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(5z-3\right)^{2}.

$$25z^{2}-30z+9-9z^{2}=0$$

Kombinirajte 25z^{2} i -9z^{2} da biste dobili 16z^{2}.

$$16z^{2}-30z+9=0$$

Oduzmite 9 od obiju strana. Sve oduzeto od nule daje isti broj s negativnim predznakom.

$$16z^{2}-30z=-9$$

Podijelite obje strane sa 16.

$$\frac{16z^{2}-30z}{16}=-\frac{9}{16}$$

Dijeljenjem s 16 poništava se množenje s 16.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{16}\right)z=-\frac{9}{16}$$

Skratite razlomak \frac{-30}{16} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$z^{2}-\frac{15}{8}z=-\frac{9}{16}$$

Podijelite -\frac{15}{8}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{15}{16}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{15}{16} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$z^{2}-\frac{15}{8}z+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{15}{16} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$z^{2}-\frac{15}{8}z+\frac{225}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{225}{256}$$

Dodajte -\frac{9}{16} broju \frac{225}{256} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$z^{2}-\frac{15}{8}z+\frac{225}{256}=\frac{81}{256}$$

Faktor z^{2}-\frac{15}{8}z+\frac{225}{256}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{81}{256}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(z-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{256}}$$

Pojednostavnite.

$$z-\frac{15}{16}=\frac{9}{16} z-\frac{15}{16}=-\frac{9}{16}$$

Dodajte \frac{15}{16} objema stranama jednadžbe.

$$z=\frac{3}{2} z=\frac{3}{8}$$