Riješi (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Izračunaj x

$$x=8$$

$$x=15$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 17 da biste dobili 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Oduzmite 289 od obiju strana.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Oduzmite 289 od 529 da biste dobili 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Preuredite polinom da biste ga pretvorili u standardan oblik. Poredajte izraze redoslijedom od najvećeg do najmanjeg eksponenta.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao x^{2}+ax+bx+120. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 120 proizvoda.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rješenje je par koji daje zbroj -23.

$$a=-15 b=-8$$

Izrazite x^{2}-23x+120 kao \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Faktor x u prvom i -8 u drugoj grupi.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-15 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-15=0 i x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 17 da biste dobili 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Oduzmite 289 od obiju strana.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Oduzmite 289 od 529 da biste dobili 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 2 s a, -46 s b i 240 s c.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kvadrirajte -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 i 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 i 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Dodaj 2116 broju -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Broj suprotan broju -46 jest 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 i 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{46±14}{4} kad je ± plus. Dodaj 46 broju 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Podijelite 60 s 4.

$$x=15$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{46±14}{4} kad je ± minus. Oduzmite 14 od 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podijelite 32 s 4.

$$x=8$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=15 x=8$$

Koraci za računanje kvadrata

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 17 da biste dobili 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Oduzmite 529 od obiju strana.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Oduzmite 529 od 289 da biste dobili -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Kvadratne jednadžbe poput ove mogu se riješiti računanjem kvadrata. Da bi se izračunao kvadrat, jednadžba mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Dijeljenjem s 2 poništava se množenje s 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Podijelite -46 s 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Podijelite -240 s 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Podijelite -23, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{23}{2}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{23}{2} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{23}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Dodaj -120 broju \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dodajte \frac{23}{2} objema stranama jednadžbe.

$$x=15 x=8$$