Riješi (2x+1)^2-(x+7)^2=0

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } - ( x + 7 ) ^ { 2 } = 0$$

Izračunaj x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

Koraci u kojima se koristi rastavljanje na faktore pomoću grupiranja

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x+7\right)^{2}=0$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x^{2}+14x+49\right)=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza x^{2}+14x+49, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x i -14x da biste dobili -10x.

$$3x^{2}-10x+1-49=0$$

Oduzmite 49 od 1 da biste dobili -48.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 3x^{2}+ax+bx-48. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Budući da je ab negativan, a i b suprotnu znakovi. Budući da je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivne vrijednosti. Navedi sve kao cijeli broj koji daje -144 proizvoda.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Rješenje je par koji daje zbroj -10.

$$a=-18 b=8$$

Izrazite 3x^{2}-10x-48 kao \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

Faktor 3x u prvom i 8 u drugoj grupi.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-6 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x+7\right)^{2}=0$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x^{2}+14x+49\right)=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza x^{2}+14x+49, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x i -14x da biste dobili -10x.

$$3x^{2}-10x+1-49=0$$

Oduzmite 49 od 1 da biste dobili -48.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 3 s a, -10 s b i -48 s c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrirajte -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Dodaj 100 broju 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

Broj suprotan broju -10 jest 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{10±26}{6} kad je ± plus. Dodaj 10 broju 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

Podijelite 36 s 6.

$$x=6$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{10±26}{6} kad je ± minus. Oduzmite 26 od 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

Skratite razlomak \frac{-16}{6} na najmanje vrijednosti tako da izlučite i poništite 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Koraci za računanje kvadrata

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x+7\right)^{2}=0$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+7\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-\left(x^{2}+14x+49\right)=0$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza x^{2}+14x+49, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1-14x-49=0$$

Kombinirajte 4x i -14x da biste dobili -10x.

$$3x^{2}-10x+1-49=0$$

Oduzmite 49 od 1 da biste dobili -48.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Dodajte 48 na obje strane. Sve plus nula jednako je sebi.

$$3x^{2}-10x=48$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

Dijeljenjem s 3 poništava se množenje s 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

Podijelite 48 s 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Podijelite -\frac{10}{3}, koeficijent izraza x, s 2 da biste dobili -\frac{5}{3}. Zatim objema stranama jednadžbe pridodajte -\frac{5}{3} na kvadrat. Tim korakom lijeva strana jednadžbe postaje potpuna kvadratna jednadžba.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte -\frac{5}{3} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Dodaj 16 broju \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Općenito, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uzeti u obzir kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Pojednostavnite.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Dodajte \frac{5}{3} objema stranama jednadžbe.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$