Riješi (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Izračunaj k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -4 s 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Oduzmite 12 od 9 da biste dobili -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Kombinirajte -12k i 8k da biste dobili -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 4 s a, -4 s b i -3 s c.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Riješite jednadžbu k=\frac{4±8}{8} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, k-\frac{3}{2} i k+\frac{1}{2} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je k-\frac{3}{2} pozitivan, a k+\frac{1}{2} negativan.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

To ne vrijedi ni za koji k.

$$k\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je k+\frac{1}{2} pozitivan, a k-\frac{3}{2} negativan.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$