Riješi (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Izračunaj

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Koraci rješenja

Razmotrite \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadrat od \sqrt{5} je 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kvadrat od \sqrt{3} je 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Oduzmite 3 od 5 da biste dobili 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadrat od \sqrt{6} je 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Rastavite 6=2\times 3 na faktore. Ponovno napišite kvadratni korijen proizvoda \sqrt{2\times 3} kao umnožak kvadrata korijena \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Pomnožite \sqrt{2} i \sqrt{2} da biste dobili 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kvadrat od \sqrt{2} je 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Dodajte 6 broju 2 da biste dobili 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 8+4\sqrt{3}, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Oduzmite 8 od 2 da biste dobili -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$