Riješi x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -1 s b i -1 s c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Da bi umnožak bio pozitivan, i x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} moraju biti negativni ili pozitivni. Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} negativni.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Razmislite o slučaju u kojem su i x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} pozitivni.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$