Riješi x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Izračunaj x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Koraci korištenja kvadratne formule

Da biste riješili nejednakost, rastavite lijevu stranu na faktore. Kvadratni polinom može se rastaviti na faktore pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), u kojoj su x_{1} i x_{2} rješenja kvadratne jednadžbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 1 s a, -3 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Riješite jednadžbu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Izrazite nejednakost pomoću dobivenih rješenja.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Da bi umnožak bio negativan, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} moraju biti suprotnih predznaka. Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} pozitivan, a x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negativan.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

To ne vrijedi ni za koji x.

$$x\in \emptyset$$

Razmislite o slučaju u kojem je x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} pozitivan, a x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negativan.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti jest x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Konačno je rješenje unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$