Riješi sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Izračunaj x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x} da biste dobili x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Oduzmite x^{2} od obiju strana.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Dodajte 2x na obje strane.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Kombinirajte x i 2x da biste dobili 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Oduzmite 1 od obiju strana.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite -1 s a, 3 s b i -1 s c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrirajte 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 9 broju -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} kad je ± plus. Dodaj -3 broju \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podijelite -3+\sqrt{5} s -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} kad je ± minus. Oduzmite \sqrt{5} od -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podijelite -3-\sqrt{5} s -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Zamijenite \frac{3-\sqrt{5}}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ne zadovoljava jednadžbu jer se lijeve i desne strane suprotnu znakovi.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite \frac{\sqrt{5}+3}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Jednadžba \sqrt{x}=x-1 ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$