Riješi sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}}

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

Izračunaj x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x} da biste dobili x.

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{1+\sqrt{x}} da biste dobili 1+\sqrt{x}.

$$x=1+\sqrt{x}$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$x-1=\sqrt{x}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x} da biste dobili x.

$$x^{2}-2x+1=x$$

Oduzmite x od obiju strana.

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 1 s a, -3 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrirajte -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Dodaj 9 broju -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Broj suprotan broju -3 jest 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kad je ± plus. Dodaj 3 broju \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kad je ± minus. Oduzmite \sqrt{5} od 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Zamijenite \frac{\sqrt{5}+3}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite \frac{3-\sqrt{5}}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ne zadovoljava jednadžbu.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite \frac{\sqrt{5}+3}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Jednadžba \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1} ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$