Riješi sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Izračunaj x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Koraci rješenja

Oduzmite -\sqrt{x-1} od obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{2x-5} da biste dobili 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Oduzmite 1 od 1 da biste dobili 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Oduzmite x od obiju strana jednadžbe.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Kombinirajte 2x i -x da biste dobili x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 2 da biste dobili 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4 s x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Oduzmite 4x od obiju strana.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Kombinirajte -10x i -4x da biste dobili -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Dodajte 4 na obje strane.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Dodajte 25 broju 4 da biste dobili 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 1 s a, -14 s b i 29 s c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Kvadrirajte -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Pomnožite -4 i 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Dodaj 196 broju -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Broj suprotan broju -14 jest 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} kad je ± plus. Dodaj 14 broju 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Podijelite 14+4\sqrt{5} s 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2} kad je ± minus. Oduzmite 4\sqrt{5} od 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Podijelite 14-4\sqrt{5} s 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Zamijenite 2\sqrt{5}+7 s x u jednadžbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=2\sqrt{5}+7 zadovoljava jednadžbu.

$$1=1$$

Zamijenite 7-2\sqrt{5} s x u jednadžbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=7-2\sqrt{5} ne zadovoljava jednadžbu jer se lijeve i desne strane suprotnu znakovi.

$$-1=1$$

Zamijenite 2\sqrt{5}+7 s x u jednadžbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=2\sqrt{5}+7 zadovoljava jednadžbu.

$$1=1$$

Jednadžba \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 ima jedinstveno rješenje.

$$x=2\sqrt{5}+7$$