Riješi sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2}

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

Izračunaj x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0,25-0,433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0,25+0,433012702i$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} da biste dobili x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{4}+2x^{2}} da biste dobili x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Oduzmite x^{4} od obiju strana.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Oduzmite 2x^{2} od obiju strana.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Kombinirajte 2x^{2} i -2x^{2} da biste dobili 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Prema teoremu racionalnog korijena, svi racionalni korijeni polinomijalnog oblika su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli konstantni termin -1 i q dijeli glavni koeficijent 8. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Pronađite takav korijen tako da isprobate sve cjelobrojne vrijednosti, počevši od najmanje apsolutne vrijednosti. Ako se ne pronađu cjelobrojni korijeni, pokušajte s razlomcima.

$$x=\frac{1}{2}$$

Faktor teorem, x-k je faktor polinoma za svaki korijenski k. Podijelite 8x^{3}-1 s 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 da biste dobili 4x^{2}+2x+1. Riješite jednadžbu u kojoj rezultat odgovara 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 4 s a, 2 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Riješite jednadžbu 4x^{2}+2x+1=0 kad je ± plus i kad je ± minus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Zamijenite \frac{1}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{1}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Zamijenite \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} s x u jednadžbi \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} s x u jednadžbi \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Navedite sva rješenja za \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Izračunaj x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} da biste dobili x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{4}+2x^{2}} da biste dobili x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Oduzmite x^{4} od obiju strana.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Oduzmite 2x^{2} od obiju strana.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Kombinirajte 2x^{2} i -2x^{2} da biste dobili 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Prema teoremu racionalnog korijena, svi racionalni korijeni polinomijalnog oblika su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli konstantni termin -1 i q dijeli glavni koeficijent 8. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Pronađite takav korijen tako da isprobate sve cjelobrojne vrijednosti, počevši od najmanje apsolutne vrijednosti. Ako se ne pronađu cjelobrojni korijeni, pokušajte s razlomcima.

$$x=\frac{1}{2}$$

Faktor teorem, x-k je faktor polinoma za svaki korijenski k. Podijelite 8x^{3}-1 s 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 da biste dobili 4x^{2}+2x+1. Riješite jednadžbu u kojoj rezultat odgovara 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 4 s a, 2 s b i 1 s c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Izračunajte.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u polju realnih brojeva, pa nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=\frac{1}{2}$$

Zamijenite \frac{1}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{1}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Jednadžba \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{1}{2}$$