Riješi sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Izračunaj x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 2 i 4 je 4. Pretvorite \frac{1}{2} i \frac{1}{4} u razlomak s nazivnikom 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Budući da \frac{2}{4} i \frac{1}{4} imaju isti nazivnik, zbrojite ih zbrajanjem njihovih brojnika.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodajte 2 broju 1 da biste dobili 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 8 je 8. Pretvorite \frac{3}{4} i \frac{1}{8} u razlomak s nazivnikom 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Budući da \frac{6}{8} i \frac{1}{8} imaju isti nazivnik, zbrojite ih zbrajanjem njihovih brojnika.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodajte 6 broju 1 da biste dobili 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanji zajednički višekratnik brojeva 8 i 16 je 16. Pretvorite \frac{7}{8} i \frac{1}{16} u razlomak s nazivnikom 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Budući da \frac{14}{16} i \frac{1}{16} imaju isti nazivnik, zbrojite ih zbrajanjem njihovih brojnika.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dodajte 14 broju 1 da biste dobili 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} da biste dobili \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Oduzmite x^{2} od obiju strana.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite -1 s a, \frac{1}{2} s b i \frac{15}{16} s c.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrirajte \frac{1}{2} tako da kvadrirate brojnik i nazivnik razlomka.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Dodajte \frac{1}{4} broju \frac{15}{4} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} kad je ± plus. Dodaj -\frac{1}{2} broju 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Podijelite \frac{3}{2} s -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} kad je ± minus. Oduzmite 2 od -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Podijelite -\frac{5}{2} s -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Zamijenite -\frac{3}{4} s x u jednadžbi \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=-\frac{3}{4} ne zadovoljava jednadžbu jer se lijeve i desne strane suprotnu znakovi.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Zamijenite \frac{5}{4} s x u jednadžbi \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{5}{4} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Jednadžba \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{5}{4}$$