Riješi sqrt{x-1}=x

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Izračunaj x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Oduzmite x^{2} od obiju strana.

$$x-1-x^{2}=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$-x^{2}+x-1=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite -1 s a, 1 s b i -1 s c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrirajte 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 1 broju -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} kad je ± plus. Dodaj -1 broju i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Podijelite -1+i\sqrt{3} s -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} kad je ± minus. Oduzmite i\sqrt{3} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Podijelite -1-i\sqrt{3} s -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Zamijenite \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} ne zadovoljava jednadžbu.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Zamijenite \frac{1+\sqrt{3}i}{2} s x u jednadžbi \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Jednadžba \sqrt{x-1}=x ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$