Riješi sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Izračunaj x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{2}-1} da biste dobili x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{2x+1} da biste dobili 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Oduzmite 2x od obiju strana.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Oduzmite 1 od obiju strana.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Oduzmite 1 od -1 da biste dobili -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 1 s a, -2 s b i -2 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrirajte -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Dodaj 4 broju 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Broj suprotan broju -2 jest 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kad je ± plus. Dodaj 2 broju 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Podijelite 2+2\sqrt{3} s 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kad je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Podijelite 2-2\sqrt{3} s 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Zamijenite \sqrt{3}+1 s x u jednadžbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\sqrt{3}+1 zadovoljava jednadžbu.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite 1-\sqrt{3} s x u jednadžbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=1-\sqrt{3} zadovoljava jednadžbu.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Navedite sva rješenja za \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Izračunaj x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x^{2}-1} da biste dobili x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{2x+1} da biste dobili 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Oduzmite 2x od obiju strana.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Oduzmite 1 od obiju strana.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Oduzmite 1 od -1 da biste dobili -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne jednadžbe: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna jednadžba ima dva rješenja: jedno kad je ± zbrajanje i jedno kad je oduzimanje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ova je jednadžba u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. U kvadratnoj jednadžbi \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} zamijenite 1 s a, -2 s b i -2 s c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrirajte -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Dodaj 4 broju 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Broj suprotan broju -2 jest 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kad je ± plus. Dodaj 2 broju 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Podijelite 2+2\sqrt{3} s 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Sada riješite jednadžbu x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kad je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Podijelite 2-2\sqrt{3} s 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Jednadžba je sada riješena.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Zamijenite \sqrt{3}+1 s x u jednadžbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\sqrt{3}+1 zadovoljava jednadžbu.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite 1-\sqrt{3} s x u jednadžbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Izraz \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} nije definiran jer radicand ne može biti negativan.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Jednadžba \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ima jedinstveno rješenje.

$$x=\sqrt{3}+1$$