Riješi sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Izračunaj x

$$x=2$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{5x-1} da biste dobili 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{3x-2} da biste dobili 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kombinirajte 5x i 3x da biste dobili 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Oduzmite 2 od -1 da biste dobili -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Oduzmite 8x-3 od obiju strana jednadžbe.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 8x-3, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kombinirajte x i -8x da biste dobili -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Dodajte -1 broju 3 da biste dobili 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na -2 da biste dobili 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{5x-1} da biste dobili 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{3x-2} da biste dobili 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4 s 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Primijenite svojstvo distributivnosti množenjem svakog dijela izraza 20x-4 sa svakim dijelom izraza 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -40x i -12x da biste dobili -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Oduzmite 49x^{2} od obiju strana.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kombinirajte 60x^{2} i -49x^{2} da biste dobili 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Dodajte 28x na obje strane.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kombinirajte -52x i 28x da biste dobili -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Oduzmite 4 od obiju strana.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Oduzmite 4 od 8 da biste dobili 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao 11x^{2}+ax+bx+4. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 44 proizvoda.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Rješenje je par koji daje zbroj -24.

$$a=-22 b=-2$$

Izrazite 11x^{2}-24x+4 kao \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktor 11x u prvom i -2 u drugoj grupi.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-2 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-2=0 i 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Zamijenite \frac{2}{11} s x u jednadžbi \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Izraz \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} nije definiran jer radicand ne može biti negativan.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Zamijenite 2 s x u jednadžbi \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=2 zadovoljava jednadžbu.

$$1=1$$

Jednadžba \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ima jedinstveno rješenje.

$$x=2$$