Riješi sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } = 2$$

Izračunaj x

$$x=5$$

$$x=1$$

Koraci rješenja

Oduzmite -\sqrt{x-1} od obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{3x+1} da biste dobili 3x+1.

$$3x+1=\left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$3x+1=4+4\sqrt{x-1}+x-1$$

Oduzmite 1 od 4 da biste dobili 3.

$$3x+1=3+4\sqrt{x-1}+x$$

Oduzmite 3+x od obiju strana jednadžbe.

$$3x+1-\left(3+x\right)=4\sqrt{x-1}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 3+x, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$3x+1-3-x=4\sqrt{x-1}$$

Oduzmite 3 od 1 da biste dobili -2.

$$3x-2-x=4\sqrt{x-1}$$

Kombinirajte 3x i -x da biste dobili 2x.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 4 da biste dobili 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 16 s x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Oduzmite 16x od obiju strana.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Kombinirajte -8x i -16x da biste dobili -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Dodajte 16 na obje strane.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Dodajte 4 broju 16 da biste dobili 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao x^{2}+ax+bx+5. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b negativan, a i b su negativni. Jedini je takav par sistemsko rješenje.

$$a=-5 b=-1$$

Izrazite x^{2}-6x+5 kao \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Faktor x u prvom i -1 u drugoj grupi.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Faktor uobičajeni termin x-5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Zamijenite 5 s x u jednadžbi \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}=2$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednadžbu.

$$2=2$$

Zamijenite 1 s x u jednadžbi \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}=2$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=1 zadovoljava jednadžbu.

$$2=2$$

Navedite sva rješenja za \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$