Riješi sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Izračunaj x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Koraci rješenja

Oduzmite -\sqrt{15+x^{2}} od obiju strana jednadžbe.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{25-x^{2}} da biste dobili 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{15+x^{2}} da biste dobili 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Dodajte 16 broju 15 da biste dobili 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Oduzmite 31+x^{2} od obiju strana jednadžbe.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 31+x^{2}, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Oduzmite 31 od 25 da biste dobili -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Da biste izračunali potenciju potencije, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na 8 da biste dobili 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{15+x^{2}} da biste dobili 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 64 s 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Oduzmite 960 od obiju strana.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Oduzmite 960 od 36 da biste dobili -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Oduzmite 64x^{2} od obiju strana.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombinirajte 24x^{2} i -64x^{2} da biste dobili -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Sve jednadžbe oblika ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. U kvadratnoj formuli zamijenite 4 s a, -40 s b i -924 s c.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Izračunajte.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Riješite jednadžbu t=\frac{40±128}{8} kad je ± plus i kad je ± minus.

$$t=21 t=-11$$

Od x=t^{2}, rješenja su dohvaćena tako da procjena x=±\sqrt{t} za svaku t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Zamijenite -\sqrt{21} s x u jednadžbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=-\sqrt{21} ne zadovoljava jednadžbu jer se lijeve i desne strane suprotnu znakovi.

$$-4=4$$

Zamijenite \sqrt{21} s x u jednadžbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\sqrt{21} ne zadovoljava jednadžbu jer se lijeve i desne strane suprotnu znakovi.

$$-4=4$$

Zamijenite -\sqrt{11}i s x u jednadžbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=-\sqrt{11}i zadovoljava jednadžbu.

$$4=4$$

Zamijenite \sqrt{11}i s x u jednadžbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\sqrt{11}i zadovoljava jednadžbu.

$$4=4$$

Navedite sva rješenja za \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$