Riješi sqrt{2x-1}-sqrt{x-1}=sqrt{6-x}

$$\sqrt { 2 x - 1 } - \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 6 - x }$$

Izračunaj x

$$x=5$$

Koraci rješenja

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{2x-1} da biste dobili 2x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$2x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}+x-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Kombinirajte 2x i x da biste dobili 3x.

$$3x-1-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}-1=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Oduzmite 1 od -1 da biste dobili -2.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{6-x}\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{6-x} da biste dobili 6-x.

$$3x-2-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x$$

Oduzmite 3x-2 od obiju strana jednadžbe.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-\left(3x-2\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 3x-2, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-x-3x+2$$

Kombinirajte -x i -3x da biste dobili -4x.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=6-4x+2$$

Dodajte 6 broju 2 da biste dobili 8.

$$-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}=8-4x$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$\left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Proširivanje broja \left(-2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na -2 da biste dobili 4.

$$4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{2x-1} da biste dobili 2x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(8-4x\right)^{2}$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x-1} da biste dobili x-1.

$$4\left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4 s 2x-1.

$$\left(8x-4\right)\left(x-1\right)=\left(8-4x\right)^{2}$$

Primijenite svojstvo distributivnosti množenjem svakog dijela izraza 8x-4 sa svakim dijelom izraza x-1.

$$8x^{2}-8x-4x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Kombinirajte -8x i -4x da biste dobili -12x.

$$8x^{2}-12x+4=\left(8-4x\right)^{2}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(8-4x\right)^{2}.

$$8x^{2}-12x+4=64-64x+16x^{2}$$

Oduzmite 64 od obiju strana.

$$8x^{2}-12x+4-64=-64x+16x^{2}$$

Oduzmite 64 od 4 da biste dobili -60.

$$8x^{2}-12x-60=-64x+16x^{2}$$

Dodajte 64x na obje strane.

$$8x^{2}-12x-60+64x=16x^{2}$$

Kombinirajte -12x i 64x da biste dobili 52x.

$$8x^{2}+52x-60=16x^{2}$$

Oduzmite 16x^{2} od obiju strana.

$$8x^{2}+52x-60-16x^{2}=0$$

Kombinirajte 8x^{2} i -16x^{2} da biste dobili -8x^{2}.

$$-8x^{2}+52x-60=0$$

Podijelite obje strane sa 4.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Da biste riješili jednadžbu, grupiranjem rastavite lijevu stranu na faktore. Najprije je potrebno prepisati lijevu stranu kao -2x^{2}+ax+bx-15. Da biste pronašli a i b, postavite sustav koji će biti riješiti.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Budući da je ab pozitivni, a i b imaju isti znak. Budući da je a+b pozitivni, a i b su pozitivni. Navedi sve kao cijeli broj koji daje 30 proizvoda.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Izračunaj zbroj za svaki par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Rješenje je par koji daje zbroj 13.

$$a=10 b=3$$

Izrazite -2x^{2}+13x-15 kao \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktor 2x u prvom i -3 u drugoj grupi.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Faktor uobičajeni termin -x+5 korištenjem distribucije svojstva.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Da biste pronašli rješenja jednadžbe, riješite -x+5=0 i 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Zamijenite 5 s x u jednadžbi \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednadžbu.

$$1=1$$

Zamijenite \frac{3}{2} s x u jednadžbi \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times \frac{3}{2}-1}-\sqrt{\frac{3}{2}-1}=\sqrt{6-\frac{3}{2}}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=\frac{3}{2} ne zadovoljava jednadžbu.

$$\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite 5 s x u jednadžbi \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x}.

$$\sqrt{2\times 5-1}-\sqrt{5-1}=\sqrt{6-5}$$

Pojednostavnite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednadžbu.

$$1=1$$

Jednadžba \sqrt{2x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{6-x} ima jedinstveno rješenje.

$$x=5$$