Riješi {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Izračunaj y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y-2x=4$$

Dodajte 2x objema stranama jednadžbe.

$$y=2x+4$$

Supstituirajte 4+2x s y u drugoj jednadžbi, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Pomnožite 3 i 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Dodaj 6x broju 2x.

$$8x+12=28$$

Oduzmite 12 od obiju strana jednadžbe.

$$8x=16$$

Podijelite obje strane sa 8.

$$x=2$$

Supstituirajte 2 s x u izrazu y=2x+4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=2\times 2+4$$

Pomnožite 2 i 2.

$$y=4+4$$

Dodaj 4 broju 4.

$$y=8$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=8,x=2$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=8,x=2$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Da biste izjednačili y i 3y, pomnožite sve izraze s obje strane prve jednadžbe s 3 i sve izraze s obje strane druge jednadžbe s 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Pojednostavnite.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Oduzmite 3y+2x=28 od 3y-6x=12 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Dodaj 3y broju -3y. Uvjeti 3y i -3y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$-6x-2x=12-28$$

Dodaj -6x broju -2x.

$$-8x=12-28$$

Dodaj 12 broju -28.

$$-8x=-16$$

Podijelite obje strane sa -8.

$$x=2$$

Supstituirajte 2 s x u izrazu 3y+2x=28. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$3y+2\times 2=28$$

Pomnožite 2 i 2.

$$3y+4=28$$

Oduzmite 4 od obiju strana jednadžbe.

$$3y=24$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$y=8$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=8,x=2$$