Riješi {l}{y=-2x+2}{y=4x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = 4 x - 4 } \end{array} \right\}$$

Izračunaj y, x

$$x=1$$

$$y=0$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte 2x na obje strane.

$$y+2x=2$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 4x od obiju strana.

$$y-4x=-4$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za y tako da izdvojite y s lijeve strane znaka jednakosti.

$$y+2x=2$$

Oduzmite 2x od obiju strana jednadžbe.

$$y=-2x+2$$

Supstituirajte -2x+2 s y u drugoj jednadžbi, y-4x=-4.

$$-2x+2-4x=-4$$

Dodaj -2x broju -4x.

$$-6x+2=-4$$

Oduzmite 2 od obiju strana jednadžbe.

$$-6x=-6$$

Podijelite obje strane sa -6.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu y=-2x+2. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y=-2+2$$

Dodaj 2 broju -2.

$$y=0$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=0,x=1$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte 2x na obje strane.

$$y+2x=2$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 4x od obiju strana.

$$y-4x=-4$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{6}\times 2-\frac{1}{6}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=0,x=1$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte 2x na obje strane.

$$y+2x=2$$

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite 4x od obiju strana.

$$y-4x=-4$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$y+2x=2,y-4x=-4$$

Oduzmite y-4x=-4 od y+2x=2 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$y-y+2x+4x=2+4$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$2x+4x=2+4$$

Dodaj 2x broju 4x.

$$6x=2+4$$

Dodaj 2 broju 4.

$$6x=6$$

Podijelite obje strane sa 6.

$$x=1$$

Supstituirajte 1 s x u izrazu y-4x=-4. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$y-4=-4$$

Dodajte 4 objema stranama jednadžbe.

$$y=0$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$y=0,x=1$$