Riješi {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Izračunaj x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x+y=0$$

Oduzmite y od obiju strana jednadžbe.

$$x=-y$$

Supstituirajte -y s x u drugoj jednadžbi, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Pomnožite 2 i -y.

$$-2y+y=5$$

Dodaj -2y broju y.

$$-y=5$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$y=-5$$

Supstituirajte -5 s y u izrazu x=-y. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Pomnožite -1 i -5.

$$x=5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=5,y=-5$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=5,y=-5$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite prvu jednadžbu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Oduzmite 2x+y=5 od x+y=0 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$x-2x+y-y=-5$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$x-2x=-5$$

Dodaj x broju -2x.

$$-x=-5$$

Podijelite obje strane sa -1.

$$x=5$$

Supstituirajte 5 s x u izrazu 2x+y=5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$2\times 5+y=5$$

Pomnožite 2 i 5.

$$10+y=5$$

Oduzmite 10 od obiju strana jednadžbe.

$$y=-5$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=5,y=-5$$