Riješi {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Izračunaj x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Koraci korištenja supstitucije

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite y od obiju strana.

$$x-y=-5$$

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$x+2y=1$$

Oduzmite 2y od obiju strana jednadžbe.

$$x=-2y+1$$

Supstituirajte -2y+1 s x u drugoj jednadžbi, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Dodaj -2y broju -y.

$$-3y+1=-5$$

Oduzmite 1 od obiju strana jednadžbe.

$$-3y=-6$$

Podijelite obje strane sa -3.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu x=-2y+1. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-2\times 2+1$$

Pomnožite -2 i 2.

$$x=-4+1$$

Dodaj 1 broju -4.

$$x=-3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-3,y=2$$

Koraci korištenja matrica

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite y od obiju strana.

$$x-y=-5$$

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-3,y=2$$

Koraci korištenja eliminacije

Pojednostavnite drugu jednadžbu. Oduzmite y od obiju strana.

$$x-y=-5$$

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Oduzmite x-y=-5 od x+2y=1 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Dodaj x broju -x. Uvjeti x i -x se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$2y+y=1+5$$

Dodaj 2y broju y.

$$3y=1+5$$

Dodaj 1 broju 5.

$$3y=6$$

Podijelite obje strane sa 3.

$$y=2$$

Supstituirajte 2 s y u izrazu x-y=-5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x-2=-5$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$x=-3$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-3,y=2$$