Riješi {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Izračunaj x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Koraci korištenja supstitucije

Da biste riješili par jednadžbi pomoću supstitucije, prvo riješite jednu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Zatim supstituirajte rezultat za tu nepoznanicu u drugoj jednadžbi.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odaberite jednu od jednadžbi i riješite je za x tako da izdvojite x s lijeve strane znaka jednakosti.

$$2x+y=3$$

Oduzmite y od obiju strana jednadžbe.

$$2x=-y+3$$

Podijelite obje strane sa 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Supstituirajte \frac{-y+3}{2} s x u drugoj jednadžbi, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Dodaj -\frac{y}{2} broju y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Oduzmite \frac{3}{2} od obiju strana jednadžbe.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Pomnožite obje strane s 2.

$$y=7$$

Supstituirajte 7 s y u izrazu x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Dodajte \frac{3}{2} broju -\frac{7}{2} pronalaženjem zajedničkog nazivnika i zbrajanjem brojnika. Zatim pokratite razlomak ako je to moguće.

$$x=-2$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-2,y=7$$

Koraci korištenja matrica

Stavite jednadžbe u standardni oblik pa taj sustav jednadžbi riješite pomoću matrica.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Napišite jednadžbe u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednadžbu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njezina inverza jest jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna je matrica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednadžba matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Aritmetički izračunajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-2,y=7$$

Koraci korištenja eliminacije

Da bi se našlo rješenje metodom eliminacije, koeficijenti jedne od varijabli moraju biti isti u obje jednadžbe, tako da se varijabla skrati kad se jedna jednadžba oduzme od druge.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Oduzmite x+y=5 od 2x+y=3 oduzimanjem ekvivalentnih algebarskih izraza od obiju strana od znaka jednakosti.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Dodaj y broju -y. Uvjeti y i -y se otkazuju, ostavljajući jednadžbu sa samo jednom varijablom koja se može riješiti.

$$2x-x=3-5$$

Dodaj 2x broju -x.

$$x=3-5$$

Dodaj 3 broju -5.

$$x=-2$$

Supstituirajte -2 s x u izrazu x+y=5. Dobivena jednadžba sadrži samo jednu nepoznanicu, pa izravno možete izračunati y.

$$-2+y=5$$

Dodajte 2 objema stranama jednadžbe.

$$y=7$$

Nađeno je rješenje sustava.

$$x=-2,y=7$$