Riješi ∫ (from 0 to 1) of {left(1-sqrt{x}right)}^2 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { \left(1- \sqrt{ x } \right) }^{ 2 } d x$$

Izračunaj

$$\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

Koraci rješenja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(1-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x} da biste dobili x.

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Prvo procijenite beskonačni integral.

$$\int 1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Pronađite integral 1 pomoću tablice uobičajene integrali pravila \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Izrazite \sqrt{x} kao x^{\frac{1}{2}}. Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x s \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Pojednostavnite. Pomnožite -2 i \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}.

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Pojednostavnite.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

Konačni integral je antiderivat izraza izračunatog u gornjoj granici integracije minus antiderivat izračunat u donjoj granici integracije.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}+1-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+0\right)$$

Pojednostavnite.

$$\frac{1}{6}$$