Riješi ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Izračunaj

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Koraci rješenja

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili \sqrt{x}+1 s \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Izračunajte koliko je 2 na \sqrt{x} da biste dobili x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Prvo procijenite beskonačni integral.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Budući da \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Izrazite \sqrt{x} kao x^{\frac{1}{2}}. Budući da \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Pojednostavnite.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Konačni integral je antiderivat izraza izračunatog u gornjoj granici integracije minus antiderivat izračunat u donjoj granici integracije.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Pojednostavnite.

$$\frac{271}{6}$$