Riješi ∫ (from 1 to 5) of (1-x)(x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 1 - x ) ( x - 5 ) d x$$

Izračunaj

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Koraci rješenja

Primijenite svojstvo distributivnosti množenjem svakog dijela izraza 1-x sa svakim dijelom izraza x-5.

$$\int _{1}^{5}x-5-x^{2}+5x\mathrm{d}x$$

Kombinirajte x i 5x da biste dobili 6x.

$$\int _{1}^{5}6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Prvo procijenite beskonačni integral.

$$\int 6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Pomnožite 6 i \frac{x^{2}}{2}.

$$3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Pronađite integral -5 pomoću tablice uobičajene integrali pravila \int a\mathrm{d}x=ax.

$$3x^{2}-5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Pomnožite -1 i \frac{x^{3}}{3}.

$$3x^{2}-5x-\frac{x^{3}}{3}$$

Konačni integral je antiderivat izraza izračunatog u gornjoj granici integracije minus antiderivat izračunat u donjoj granici integracije.

$$3\times 5^{2}-5\times 5-\frac{5^{3}}{3}-\left(3\times 1^{2}-5-\frac{1^{3}}{3}\right)$$

Pojednostavnite.

$$\frac{32}{3}$$