Riješi ∫ 5v(v^2+2)^2dv

$$\int 5 v ( v ^ { 2 } + 2 ) ^ { 2 } d v$$

Izračunaj

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Koraci rješenja

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(v^{2}+2\right)^{2}.

$$\int 5v\left(\left(v^{2}\right)^{2}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Da biste izračunali potenciju potencije, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$\int 5v\left(v^{4}+4v^{2}+4\right)\mathrm{d}v$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 5v s v^{4}+4v^{2}+4.

$$\int 5v^{5}+20v^{3}+20v\mathrm{d}v$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int 5v^{5}\mathrm{d}v+\int 20v^{3}\mathrm{d}v+\int 20v\mathrm{d}v$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$5\int v^{5}\mathrm{d}v+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Od \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int v^{5}\mathrm{d}v s \frac{v^{6}}{6}. Pomnožite 5 i \frac{v^{6}}{6}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+20\int v^{3}\mathrm{d}v+20\int v\mathrm{d}v$$

Od \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int v^{3}\mathrm{d}v s \frac{v^{4}}{4}. Pomnožite 20 i \frac{v^{4}}{4}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+20\int v\mathrm{d}v$$

Od \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int v\mathrm{d}v s \frac{v^{2}}{2}. Pomnožite 20 i \frac{v^{2}}{2}.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}$$

Ako je F\left(v\right) antiderivat f\left(v\right), skup svih antiderivata f\left(v\right) je dan u F\left(v\right)+C. Stoga dodajte konstantu integracije C\in \mathrm{R} rezultatu.

$$\frac{5v^{6}}{6}+5v^{4}+10v^{2}+С$$

Diferenciraj u odnosu na v

$$5v\left(v^{2}+2\right)^{2}$$