Riješi ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

Izračunaj

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

Koraci rješenja

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} da biste proširili \left(x-1\right)^{3}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte -3x^{2} i x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte 3x i -2x da biste dobili x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Dodajte -1 broju 1 da biste dobili 0.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x s 4-x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 4x-x^{2} s 4+x i kombinirali slične izraze.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte x i 16x da biste dobili 17x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte x^{3} i -x^{3} da biste dobili 0.

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kvadrirajte 8-x-x^{2}.

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte -2x^{2} i -15x^{2} da biste dobili -17x^{2}.

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Kombinirajte 17x i -16x da biste dobili x.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x^{2} s 17-x^{2}.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

Kombinirajte -17x^{2} i 17x^{2} da biste dobili 0.

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

Kombinirajte x^{4} i -x^{4} da biste dobili 0.

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Kombinirajte x i -x da biste dobili 0.

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbroj termina po terminu.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Pomnožite 2 i \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

Pronađite integral 64 pomoću tablice uobičajene integrali pravila \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

Ako je F\left(x\right) antiderivat f\left(x\right), skup svih antiderivata f\left(x\right) je dan u F\left(x\right)+C. Stoga dodajte konstantu integracije C\in \mathrm{R} rezultatu.

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

Diferenciraj u odnosu na x

$$2\left(x^{3}+32\right)$$