Riješi frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Izračunaj b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Koraci rješavanja iracionalnih jednadžbi

Racionalizirajte nazivnik \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} množenje brojnik i nazivnik 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Razmotrite \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrirajte 2. Kvadrirajte \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Oduzmite 5 od 4 da biste dobili -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnožite 2+\sqrt{5} i 2+\sqrt{5} da biste dobili \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat od \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Dodajte 4 broju 5 da biste dobili 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sve podijeljeno s –1 daje suprotno. Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 9+4\sqrt{5}, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionalizirajte nazivnik \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} množenje brojnik i nazivnik 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Razmotrite \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Umnožak se može pretvoriti u razliku kvadrata pomoću sljedećeg pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrirajte 2. Kvadrirajte \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Oduzmite 5 od 4 da biste dobili -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnožite 2-\sqrt{5} i 2-\sqrt{5} da biste dobili \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Upotrijebite binomni teorem \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat od \sqrt{5} je 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Dodajte 4 broju 5 da biste dobili 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Sve podijeljeno s –1 daje suprotno. Da biste pronašli suprotnu vrijednost izraza 9-4\sqrt{5}, pronađite suprotnu verziju svakog člana.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Oduzmite 9 od -9 da biste dobili -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Kombinirajte -4\sqrt{5} i 4\sqrt{5} da biste dobili 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Zamijenite strane tako da svi izrazi s nepoznanicama budu s lijeve strane.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Oduzmite a od obiju strana.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kvadrirajte obje strane jednadžbe.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Podijelite obje strane sa 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Dijeljenjem s 5 poništava se množenje s 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Izračunaj a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$